【题目】米勒问题,是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长(即可见角最大?)米勒问题的数学模型如下:如图,设 是锐角的一边上的两定点,点是边边上的一动点,则当且仅当的外接圆与边相切时,最大.若,点在轴上,则当最大时,点的坐标为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
设点的坐标为,求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标,即可得到的外接圆圆心的横坐标,由的外接圆与边相切于点,可知的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等,即可得到点的坐标。
由于点是边边上的一动点,且点在轴上,故设点的坐标为;
由于,则直线的方程为:,点为直线与轴的交点,故点的坐标为;由于为锐角,点是边边上的一动点,故;
所以线段的中垂线方程为: ;线段的中垂线方程为: ;
故的外接圆的圆心为直线与直线的交点,联立 ,解得: ;即的外接圆圆心的横坐标为
的外接圆与边相切于点,边在轴上,则的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等,即,解得:或(舍)
所以点的坐标为;
故答案选A
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【题目】设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(,)
C. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg
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【题目】已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0, )作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.(14分)
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
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【题目】已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),证明:当n∈N*时,
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
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【题目】已知等差数列的公差,数列满足,集合.
(1)若,,求集合;
(2)若,求使得集合恰有两个元素;
(3)若集合恰有三个元素,,T是不超过5的正整数,求T的所有可能值,并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB= .
(Ⅰ)求b和sinA的值;
(Ⅱ)求sin(2A+ )的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.
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