Question

（2011•临沂二模）设x，y满足约束条件

4x-y≥0 x≤1 y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为

4

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

4x-y≥0 x≤1 y≥0

，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值．

解答：解：满足约束条件

4x-y≥0 x≤1 y≥0

的区域是一个三角形，如图
3个顶点是（0，0），（1，0），（ 1，4），
由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，
即a+4b=8
∴a+4b=8≥2 

4ab

，在a=4，b=1时是等号成立，
∴ab≤4．
∴ab的最大值为4．
故答案为4．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．