Question

如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AE⊥BC，④平面AEF⊥平面PBC，⑤△AFE是直角三角形，其中正确的命题的序号是

 

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Answer 1

分析：分别根据线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理分别进行证明．

解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在平面，
∴PA⊥⊙O所在平面内的所有直线，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，
∵F是点A在PC上的射影，
∴AF⊥PC，
∵AF∩PC=F，
∴PC⊥面PAC，∴AF⊥BC，
又AF⊥PC，
∴AF⊥面PBC，∴AF⊥PB，∴①正确；
∵AF⊥PB，AF⊥PC，
∴AF⊥面PBC，
∴AF⊥EF，即△AFE是直角三角形，∴⑤正确．
∵AF⊥PB，AE⊥PB，AF∩AE=A，
∴PB⊥面AEF，∴EF⊥PB，∴②正确．
∵AF⊥面PBC，
∴若AE⊥BC，
则AE⊥面PBC，
此时E，F重合，与已知矛盾．∴③错误；
∵AF⊥面PBC，
AF?面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC，
∴④正确．
故答案是：①②④⑤

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的性质，考查化归与转化的数学思想方法．