Question

如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点．
（I）求三棱锥D₁-ACE的体积；
（II）求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A-D₁E-C的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用VD1-ACE=VA-D1CE，求出底面D₁CE的面积，然后求三棱锥D₁-ACE的体积；
（II）取DD₁的中点F，连接FC，说明∠FCA即为异面直线D₁E与AC所成角或其补角，解三角形CEF，求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（III）过点D作DG⊥D₁E于点G，连接AG，说明∠AGD为二面角A-D₁E-C的平面角，解△AGD，求二面角A-D₁E-C的正弦值．

解答：解：（I）VD1-ACE=VA-D1CE=

1

3

×

1

2

×2×3×3=

16

3

（II）取DD₁的中点F，连接FC，

则D₁E∥FC，
∴∠FCA即为异面直线D₁E与AC
所成角或其补角．
在△FCA中，AC=4

2

，
AF=FC=2

5

∴cos∠FCA=

10

5

∴异面直线D₁E与AC所成角的余弦值为

10

5

.
（III）过点D作DG⊥D₁E于点G，连接AG，由AD⊥面D₁DCC₁，
∴AD⊥D₂E
又∵DG⊥D₁E，∴D₁E⊥面ADG
∴D₁E⊥AG，则∠AGD为二面角A-D₁E-C的平面角
∵D₁E•DG=DD₁•CD，∴DG=

8 5

5

AG=

AD2+DG2

=

12 5

5

∴sin∠AGD=

5

3

，
二面角A-D₁E-C的正弦值为

5

3

.

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．