Question

16．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，$QA=AB=\frac{1}{2}PD$．
（1）证明：面PQC⊥面DQC；
（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面PQC⊥面DQC．
（2）求出面PAB的法向量和平面DQC的法向量，利用向量法能求出面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，$QA=AB=\frac{1}{2}PD$．
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设$QA=AB=\frac{1}{2}PD$=1，则P（0，0，2），Q（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{QP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{QC}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{QD}$=（-1，0，-1），
设平面PQC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QP}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QC}=-x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
设平面DQC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QD}=-a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QC}=-a+b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+0-1=0，
∴面PQC⊥面DQC．
（2）A（1，0，0），B（1，1，0），$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-2），
设面PAB的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PA}={x}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}={x}_{1}+{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（2，0，1），
平面DQC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
设面PAB与面DQC所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．