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    给定椭圆： ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，且其短轴上的一个端点到的距离为.
    (Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
    (Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．
    (Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

    试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出，利用短轴上的一个端点到的距离为，求出，解出，，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.
    试题解析：(Ⅰ)由题意可知，，则，，
    所以椭圆方程为.                  2分
    易知准圆半径为，
    则准圆方程为.                     4分
    (Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，
    不妨设的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，
    当的方程为时，此时与准圆交于点，，
    此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
    即为或，显然直线垂直；           6分
    同理可证直线的方程为时，直线也垂直．      7分
    ②当的斜率都存在时，设点，其中.
    设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
    由消去，得.
    由化简整理得，.  因为，
    所以有.                10分
    设直线的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，
    所以满足方程，
    所以，即垂直．                  12分
    综合①②知，垂直．                       13分
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的中心在原点，焦点F在轴上，离心率，点在椭圆C上.
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）若斜率为的直线交椭圆与、两点，且、、成等差数列，点M（1,1），求的最大值.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的离心率为，且经过点．
    (Ⅰ)求椭圆的方程；
    (Ⅱ)如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），
    ①求的值；
    ②当为等腰直角三角形时，求直线的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.
    (I)求椭圆C的方程；
    (II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆  
    （Ⅰ）若线段是圆的直径，求椭圆的离心率；
    （Ⅱ）若圆的圆心在直线上，求椭圆的方程;
    （Ⅲ）若直线交（Ⅱ）中椭圆于，交轴于，求的最大值  

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知、分别为椭圆的两个焦点,点为其短轴的一个端点,若为等边三角形,则该椭圆的离心率为(    )
    A．　 B．　C．D．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若△为直角三角形，则△的面积等于__   __.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆与直线相交于两点．
    （1）若椭圆的半焦距，直线与围成的矩形的面积为8，
    求椭圆的方程；
    （2）若（为坐标原点），求证：；
    （3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设椭圆的四个顶点A、B、C、D, 若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为         __  ．

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