Question

如图，在 Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4． Rt△AOC可以通过 Rt△AOB以直线AO为轴旋转θ得到，动点D在斜边AB上．
（1）若θ=90°，求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）若θ=120°，求CD与平面AOB所成角最大时该角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角B-CO-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出CO⊥BO，从而CO⊥平面AOB，由此能证明平面COD⊥平面AOB．
（2）过C作OB的垂线，垂足为E，可得E为C在平面AOB上的射影，故当ED⊥AD时，CD与平面AOB所成角最大，解三角形可得答案；
（3）以OB为y轴正方向，OA为z轴正方向建立空间坐标系，分别求出平面OBC和平面OCD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（1）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵∠BOC=90°，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．
解：（2）过C作OB的垂线，垂足为E，

∵CO⊥AO，BO⊥AO，CO∩BO=O，
∴AO⊥平面OBC，
又∵CE?平面OBC，
∴AO⊥CE，
又∵BO∩AO=0，AO，BO?平面AOB，
∴CE⊥平面AOB，
即E为C在平面AOB上的射影，
故当ED⊥AD时，CD与平面AOB所成角最大，
此时CE=

3

，DE=

3 3

2

，故CD=

CE2+DE2

=

39

2

，
故CD与平面AOB所成角最大时该角的正弦值sin∠EDC=

CE

CD

=

3

39 2

=

2 13

13

，
（3）以OB为y轴正方向，OA为z轴正方向建立空间坐标系，
则O（0，0，0），C（

3

，-1，0），B（0，2，0），A（0，0，2

3

），D（0，

5

4

，

3 3

4

），
则

OC

=（

3

，-1，0），

OD

=（0，

5

4

，

3 3

4

），
由（2）可得：

OA

=（0，0，2

3

）为平面OBC的一个法向量，
设平面OCD的法向量为：

m

=（x，y，z），
由

m • OC =0 m • OD =0

，即

3 x-y=0 5 4 y+ 3 3 4 z=0

，
令x=1，则

m

=（1，

3

，-

5

3

），
故二面角B-CO-D的平面角θ的余弦值cosθ=

| m • OA |

| m |•| OA |

=

5 61

61

点评：本题考察了面面垂直判定定理和线面角、二面角的作法和求法，解决二面角问题关键是要转化为向量夹角问题．