Question

已知O为坐标原点，A，B是圆x²+y²=1分别在第一、四象限的两个点，C（5，0）满足：

OA

•

OC

=3、

OB

•

OC

=4，则

OA

+t

OB

+

OC

(t∈R)模的最小值为

4

．

Answer 1

分析：设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），

OC

=(5，0)，利用

OA

•

OC

=3、

OB

•

OC

=4，A，B是圆x²+y²=1分别在第一、四象限的两个点，可得

OA

=(

3

5

，

4

5

)，

OB

=(

4

5

，-

3

5

)，从而可得

OA

+t

OB

+

OC

=(

4t+28

5

，

4-3t

5

)，由此可求

OA

+t

OB

+

OC

的模长的最小值．

解答：解：设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
∵C（5，0），∴

OC

=(5，0)
∵

OA

•

OC

=3、

OB

•

OC

=4，
∴5cosα=3，5cosβ=4
∴cosα=

3

5

，cosβ=

4

5

∵A，B是圆x²+y²=1分别在第一、四象限的两个点
∴sinα=

4

5

，sinβ=-

3

5

∴

OA

=(

3

5

，

4

5

)，

OB

=(

4

5

，-

3

5

)
∴

OA

+t

OB

+

OC

=(

4t+28

5

，

4-3t

5

)
∴

OA

+t

OB

+

OC

的模长=

( 4t+28 5 )2+( 4-3t 5 )2

=

t2+8t+32

=

(t+4)2+16

≥4
故答案为：4

点评：本题考查向量知识的运用，解题的关键是确定向量的坐标，利用配方法求最值．