Question

四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a．
（Ⅰ）求该四面体的体积的最大值；
（Ⅱ）当四面体的体积最大时，求其表面积．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，
在四面体ABCD中，设AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点为P，
BC的中点为E，连接BP、EP、CP．
∵AB=BD，P为AD中点，∴BP⊥AD，
∵AC=CD，P为AD中点，∴PC⊥AD，
又BP∩PC=P，∴AD⊥平面BPC，
∴V_A-BCD=V_A-BPC+V_D-BPC
=S_△BPC•AP+S_△BPC•PD
=S_△BPC•AD
=×aוx
=≤•=a³（当且仅当x=a时取“=”）．
∴该四面体的体积的最大值为a³．
（Ⅱ）由（1）知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，
△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，
∴S_△ABC=S_△BCD=，
S_△ABD=S_△ACD==
所以当四面体的体积最大时，其表面积S==a²．
分析：（Ⅰ）设出四面体A-BCD，不妨设棱AB、AC、BC、BD、CD相等且为定值a，把棱AD看作动的棱，设为x，取AD的中点P，
连接BP、CP后，四面体A-BCD分成了两个同底面的三棱锥A-BPC和D-BPC，四面体的体积转化为此两个三棱锥的体积和，整理后化为关于x的函数，然后运用基本不等式求四面体体积的最大值．
（Ⅱ）求出使四面体体积最大时的x的值，四面体的表面积就是表面四个三角形的面积和，可直接运用三角形的面积求解．
点评：本题考查了棱锥的体积和表面积，考查了学生的空间想象能力和数学转化能力，考查了函数思想，运用了基本不等式求函数的最值，此题是中档题．