Question

(本题满分15分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）.

（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；                    (7分)

（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式.                  (8分)

Answer 1

(本题满分15分)（1）解  ∵a_n=S_n-S_n-1（n≥2）

∴S_n=n²（S_n-S_n-1），∴S_n=S_n-1（n≥2）

∵a₁=1，∴S₁=a₁=1.

∴S₂=，S₃==，S₄=，                     ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想S_n=（n∈N^*）.                       ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

（2）证明  ①当n=1时，S₁=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N^*）时，等式成立，即S_k=，

当n=k+1时，

S_k+1=（k+1）²·a_k+1=a_k+1+S_k=a_k+1+，           

∴a_k+1=，

∴S_k+1=（k+1）²·a_k+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N^*，等式均成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵a_k+1=，∴a_n=.               ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分