Question

（2013•长宁区一模）已知

m

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

n

=(cosx，-y)，满足

m

•

n

=0．
（Ⅰ）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对应边长，若f(

A

2

)=3，且a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可求函数的最小正周期；
（Ⅱ）由f(

A

2

)=3，求得A=

π

3

．由a=2，利用正弦定理可得b=

4

3

3

sinB，c=

4

3

3

sinC，从而b+c=

4

3

3

sinB+

4

3

3

sinC，化简，即可求b+c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

n

=(cosx，-y)，满足

m

•

n

=0．
∴2cos²x+2

3

sinxcosx-y=0
∴y=2cos²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f(

A

2

)=3，∴sin（A+

π

6

）=1
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

∵a=2，∴由正弦定理可得b=

4

3

3

sinB，c=

4

3

3

sinC
∴b+c=

4

3

3

sinB+

4

3

3

sinC=

4

3

3

sinB+

4

3

3

sin(

2π

3

-B)=4sin（B+

π

6

）
∵B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴b+c∈（2，4]
∴b+c的取值范围为（2，4]．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查正弦定理，确定函数解析式是关键．