定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(1)令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O作曲线C1的切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值.
(2)当x,y∈N*且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x);
(3)令函数g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围.
解:(1)∵F(x,y)=(1+x)
y,
∴
,
故A(0,9),
又过坐标原点O向曲线C
1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f'(x)=2x-4.
∴
,
∴
;
(2)令
,
又令
,
∴
,∴p(x)在[0,+∞)单调递减.
∴当x>0时有p(x)<p(0)=0,∴当x≥1时有h'(x)<0,∴h(x)在[1,+∞)单调递减,
∴
,
∴yln(1+x)>xln(1+y),
∴(1+x)
y>(1+y)
x,
∴当x,y∈N
*且x<y时F(x,y)>F(y,x).
(3)g(x)=F(1,log
2(x
2+ax
2+bx+1))=x
3+ax
2+bx+1,
设曲线C
2在x
0(-4<x<-1)处有斜率为-8的切线,
又由题设log
2(x
3+ax
2+bx+1)>0,g'(x)=3x
2+2ax+b,
∴存在实数b使得
有解,
由①得b=-8-3x
02-2ax
0,代入③得-2x
02-ax
0-8<0,
∴
有解,
得2×(-4)
2+a×(-4)+8>0或2×(-1)
2+a×(-1)+8>0,
∴a<10或a<10,
综上,实数a的取值范围为a<10.
分析:(1)把函数f(x)=F(1,log
2(x
2-4x+9))代入已知的新定义,根据对数的运算法则化简,得到f(x)的解析式,把x=0代入f(x)的解析式即可求出m的值,求出f(x)的导函数,把x=n代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率,然后用切点坐标表示出斜率,两者相等列出n与t的关系式,把切点坐标代入f(x)得到另一个关于n与t的关系式,两者联立即可求出n与t的值,确定出点B的坐标,然后利用定积分的方法即可求出曲线C
1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S;
(2)令函数h(x)=
,求出h(x)的导函数,由分母大于0,令分子等于p(x),求出p(x)的导函数,根据p(x)导函数的正负,判断p(x)的增减性,进而得到p(x)小于0,且得到h(x)导函数的正负,得到h(x)的增减性,利用函数的增减性即可得证;
(3)利用题中的定义确定出g(x)的解析式,求出g(x)的导函数,把x=x
0代入导函数求出的导函数值即为-8,列出一个关系式,记作①,把-4<x
0<-1记作②,由log
2(x
3+ax
2+bx+1)大于0,把x=x
0代入得到一个不等式,记作③,由①解出b,代入③得到一个不等式与②联立,把②中的两个端点代入不等式中即可得到a的取值范围.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用定积分求曲线围成的面积,会根据导函数的正负确定函数的单调性,是一道中档题.