Question

已知点A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．
（1）若|

BC

-

BA

|=

2

，求sin2θ的值；
（2）若实数m，n满足m

OA

+n

OB

=

OC

，求（m-3）²+n²的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的坐标计算（终点坐标减始点坐标）求出

BC

，

BA

，然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件|

BC

-

BA

|=

2

得出sinθ+cosθ=

2

2

再两边平方即可得解．
（2）根据向量相等和条件m

OA

+n

OB

=

OC

求出

m= 2 2 (cosθ+sinθ) n= 2 2 (cosθ-sinθ)

然后再代入（m-3）²+n²中可得（m-3）²+n²=-3

2

（sinθ+cosθ）+10再结合辅助角公式可得（m-3）²+n²=-6sin（θ+

π

4

）+10从而可得出当sin（θ+

π

4

）=-1时，（m-3）²+n²取得最大值16．

解答：解：（1）∵|

BC

-

BA

|=|

AC

|，A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）
∴

AC

=（

2

cosθ-1，

2

sinθ-1）
∴|

AC

|²=（

2

cosθ-1）²+（

2

sinθ-1）²=-2

2

（sinθ+cosθ）+4．
∴-2

2

（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=

2

2

，
两边平方得1+sin2θ=

1

2

，
∴sin2θ=-

1

2

．
（2）由已知得：（m，m）+（n，-n）=（

2

cosθ，

2

sinθ），
∴

m+n= 2 cosθ m-n= 2 sinθ

解得

m= 2 2 (cosθ+sinθ) n= 2 2 (cosθ-sinθ)

∴（m-3）²+n²=m²+n²-6m+9，
=-3

2

（sinθ+cosθ）+10
=-6sin（θ+

π

4

）+10，
∴当sin（θ+

π

4

）=-1时，（m-3）²+n²取得最大值16．

点评：本题主要考察了向量的坐标计算、减法、模的坐标计算以及三角函数的化简求值，属常考题型，较难．解题的关键是掌握常用的变形技巧：通过sinθ

+

.

cosθ两边平方求出sin2θ：通过辅助角公式可将-3

2

（sinθ+cosθ）+10化为-6sin（θ+

π

4

）+10！