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已知f(x)为定义在R上的偶函数,在x>0时xf′(x)+f(x)>0恒成立,且f(1)=0,则不等式f(x)>0的解集为________.

(-∞,-1)∪(1,+∞)
分析:由题意构造函数g(x)=xf (x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,由函数f(x)的奇偶性得到函数g(x)的奇偶性,由f(1)=0得g(1)=0、还有g(-1)=0,再通过奇偶性进行转化,利用单调性求出不等式得解集.
解答:设g(x)=xf(x),
则g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=f(x)+xf′(x)>0恒成立,
∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)=xf(x)是R上的奇函数,
∴函数g(x)在区间(-∞,0)上是增函数,
∵f(1)=0,∴f(-1)=0; 即g(-1)=0,g(1)=0
∴xf(x)>0化为g(x)>0,
当x>0时,不等式f(x)>0等价于g(x)>0,即g(x)>g(1),即x>1;
当x<0时,不等式f(x)>0等价于g(x)<0,即g(x)<g(-1),即x<-1.
故所求的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
故答案为(-∞,-1)∪(1,+∞).
点评:本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化,注意函数值为零的自变量的取值.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)为定义在(-∞,+∞)上的可导函数,且f(x)<f′(x)对于x∈R恒成立,则(  )
A、f(2)>e2f(0),f(2010)>e2010f(0)B、f(2)<e2f(0),f(2010)>e2010f(0)C、f(2)>e2f(0),f(2010)<e2010f(0)D、f(2)<e2f(0),f(2010)<e2010f(0)

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1
1

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已知f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=
2x2x+1

(1)证明函数f(x)在(0,1)是增函数
(2)求f(x)在(-1,1)上的解析式.

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给出下列命题:
f(x)=
4-x2
+
x2-4
既是奇函数,又是偶函数;
②f(x)=x和f(x)=
x2
x
为同一函数;
③已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
④函数y=
x
2x2+1
的值域为[-
2
4
2
4
]

其中正确命题的序号是
①④
①④

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,有(  )
A、f(x)=-x(1+x)B、f(x)=-x(1-x)C、f(x)=x(1-x)D、f(x)=x(x-1)

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