Question

设f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为实常数）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c²-3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）举出反例即可，只要检验f（-1）≠-f（1），可说明f（x）不是奇函数；
（2）由题意可得f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对定义域内任意实数x成立．整理可求a，b
（3）当

a=1 b=2

时，f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，由指数函数的性质可求f（x），由二次函数的性质可求c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

，可求
当

a=-1 b=-2

时，f(x)=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

+

1

1-2x

 (x≠0)，当x＞0时，f(x)＜-

1

2

；当x＜0时，f(x)＞

1

2

，结合二次函数的性质可求c²-3c+3的范围，即可求解

解答：解：（1）举出反例即可．f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（4分）
（2）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对定义域内任意实数x成立．（1分）
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

或

a=1 b=2

．     经检验都符合题意．（3分）
（3）（本小题评分说明：这里给出的是满分结论，对于写出部分解答的考生，应视答题正确程度适当给分，具体标准结合考生答题情况制订细则）
当

a=1 b=2

时，f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因为2^x＞0，
所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，从而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；（2分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

对任何实数c成立；
所以可取D=R对任何x、c属于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（3分）
当

a=-1 b=-2

时，f(x)=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

+

1

1-2x

 (x≠0)，
所以当x＞0时，f(x)＜-

1

2

；
当x＜0时，f(x)＞

1

2

； （2分）
1）因此取D=（0，+∞），对任何x、c属于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（1分）
2）当c＜0时，c²-3c+3＞3，解不等式-

1

2

+

1

1-2x

≤3得：x≤log2

5

7

．
所以取D=(-∞，log2

5

7

]，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c²-3c+3成立． （2分）．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判断，及奇函数性质的应用，指数函数、二次函数性质的综合应用是解答本题的关键