Question

已知偶函数y=f（x）定义域为[-3，3]，函数f（x）在[-3，0]上为增函数，求满足f（2x-3）＞f（x+1）的x的集合．

Answer 1

分析：根据函数f（x）为偶函数，则不等式f（2x-3）＞f（x+1）等价于f（|2x-3|）＞f（|x+1|），根据函数f（x）在[-3，0]上为增函数，则可得到f（x）在[0，3]上的单调性，利用单调性去掉“f”，即可列出不等式|2x-3|＞|x+1|，求解即可得到满足f（2x-3）＞f（x+1）的x的集合．

解答：解：∵y=f（x）为偶函数，
∴f（|x|）=f（x），
∴不等式f（2x-3）＞f（x+1）等价于f（|2x-3|）＞f（|x+1|），
∵函数f（x）在[-3，0]上为增函数，且为偶函数，
根据偶函数在对称区间上单调性相反，
∴函数f（x）在[0，3]上为减函数，
∵f（|2x-3|）＞f（|x+1|），
∴

|2x-3|＜|x+1| -3≤2x-3≤3 -3≤x+1≤3

，解得

2

3

＜x≤2，
∴满足f（2x-3）＞f（x+1）的x的集合为{x|

2

3

＜x≤2}．

点评：本题考查了函数单调性的性质与奇偶性的性质，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”．对于偶函数，要注意运用偶函数在对称区间上单调性相反的性质．属于中档题．