Question

4．设F₁，F₂是椭圆$C：\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$的两焦点，点P（异于点F₁，F₂）关于点F₁，F₂的对称点分别为点P₁，P₂，线段PQ的中点在椭圆C上，则|P₁Q|+|P₂Q|=4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意作图象，设线段PQ的中点为M，连结MF₁，MF₂，从而可得|QP₁|=2|MF₁|，|QP₂|=2|MF₂|，从而结合椭圆的定义解得．

解答 解：由题意作图象如右图，
设线段PQ的中点为M，
连结MF₁，MF₂，
∵F₁是PP₁的中点，线段PQ的中点为M，
∴|QP₁|=2|MF₁|，
同理可得，
|QP₂|=2|MF₂|，
∴|P₁Q|+|P₂Q|=2（|MF₁|+|MF₂|）
=2•2a=4a，
∵a=$\sqrt{5}$，
∴4a=4$\sqrt{5}$；
故|P₁Q|+|P₂Q|=4$\sqrt{5}$；
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及椭圆的定义的应用．