Question

已知椭圆与双曲线有两个公共点，且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与圆O：x²+y²=a²+b²相交于点A，C，l₂与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件得a=2，再由双曲线n的离心率为，知椭圆m的离心率．由此能求出椭圆m的方程．
（2）圆O的方程为x²+y²=7．若，则，椭圆m落在圆O内．设点P（x，y）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，则．由此入手能够求出四边形ABCD的面积的最小值．
解答：解：（1）若a＞2，则椭圆m与双曲线n有四个公共点；
若0＜a＜2，则椭圆m与双曲线n没有公共点；
若a=2，则椭圆m与双曲线n有公共点（±2，0）．
由题意，可得a=2．…（3分）
又双曲线n的离心率为，
则椭圆m的离心率．
所以椭圆m的方程为．…（6分）
（2）圆O的方程为x²+y²=7．
若，
则，
即椭圆m落在圆O内．
如图，设点P（x，y）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，
则，…（7分）
由l₁⊥l₂，得d₁²+d₂²=OP²=x²+y²．
四边形ABCD的面积…（9分）
由点P（x，y）在椭圆m上，
则．
又，得．…（11分）
当且仅当d₁d₂=0且y=0，
即P的坐标为（-2，0），
直线l₁，l₂的方程为y=0，
x=-2或P的坐标为（2，0），
直线l₁，l₂的方程为y=0，x=2时，．…（13分）
所以四边形ABCD的面积的最小值为．…（14分）
点评：本题考查和椭圆的关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．