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已知数列中,,且

(Ⅰ) 求数列的通项公式;

(Ⅱ) 令,数列的前项和为,试比较的大小;

(Ⅲ) 令,数列的前项和为.求证:对任意

都有

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)证明见解析。


解析:

(Ⅰ)由题知,

由累加法,当时,

代入,得时,

,故.                        ................4分

(II)时,

方法1:当时,;当时,

时,

猜想当时,.                                ................6分

下面用数学归纳法证明:

①当时,由上可知成立;

②假设时,上式成立,即.

时,左边

,所以当时成立.

由①②可知当时,.                        

综上所述:当时,;当时,

时,.                       ...............10分

方法2:

记函数

所以                     .........6分

所以

由于,此时

,此时

,此时

由于,,故时,,此时

综上所述:当时,;当时,.    ...........10分

(III)

时,

所以当

故对得证.          .................14

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