Question

已知9^x-10•3^x+9≤0
（1）解上述不等式
（2）在（1）的条件下，求函数y=(

1

4

)x-1-4•(

1

2

)x+2的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）令t=3^x＞0，则不等式即 t²-10t+9≤0，解得t的范围，可得原不等式的解集．
（2）由（1）可得 0≤x≤2，令m=(

1

2

)x，可得m的范围，函数即 y=4 (m-

1

2

)2+1，利用二次函数的性质求得函数y最大值和最小值及相应的m的值，可得对应的x值．

解答：解：（1）令t=3^x＞0，由不等式 9^x-10•3^x+9≤0 可得 t²-10t+9≤0，
解得 1≤t≤9，即3⁰≤3^x≤3²，
∴0≤x≤2，故原不等式的解集为[0，2]．
（2）由（1）可得 0≤x≤2，令m=(

1

2

)x，则有

1

4

≤m≤1，函数即 y=4m²-4m+2=4 (m-

1

2

)2+1，
故当m=

1

2

时，函数y取得最小值为1，此时，x=1．
当m=1时，函数y取得最大值为 4×(1-

1

2

)2+1=2，此时x=0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，指数函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．