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已知椭圆C的一个焦点为F(0,1),过点F且垂直于长轴的直线被椭圆C截得的弦长为
2
;P,Q,M,N为椭圆C上的四个点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若
PF
FQ
MF
FN
PF
FM
=0
,求四边形PMQN的面积的最大值和最小值.
分析:(1)根据一个焦点为F(0,1),设出椭圆方程,再利用过点F且垂直于长轴的直线被椭圆C截得的弦长为
2
,求出几何量,即可得到椭圆的方程;
(2)设出直线方程,代入椭圆方程,求出|PQ|,|MN|,表示出面积,利用基本不等式,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)由题圆C的一个焦点为F(0,1)知c=1
故可设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)

过焦点F(0,1)且与长轴垂直的直线方程为y=c,设此直线与椭圆交于A,B两点
|AB|=
2b2
a
,又|AB|=
2
,所以
2b2
a
=
2
,又b2=a2-c2=a2-1,
联立求得b2=1,a2=2,故椭圆方程为x2+
y2
2
=1

(Ⅱ)由
PF
FQ
MF
FN
知,点P,Q,F共线,点M,N,F共线,
即直线PQ,MN经过椭圆焦点F.又
PF
FM
=0
知,PQ⊥MN
(i)当PQ斜率为零或不存在时,S=
1
2
|PQ||MN|=
1
2
×2a×
2b2
a
=2b2=2

(ii)当直线PQ存在且不为零时,可设斜率为k,则由PQ⊥MN知,MN的斜率为-
1
k

所以:直线PQ方程为:y=kx+1.直线MN方程为:y=-
1
k
x+1

将直线PQ方程y=kx+1代入椭圆方程2x2+y2-2=0,消去y并化简整理可得(2+k2)x2+2kx-1=0,
设P,Q坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-
2k
2+k2
x1x2=-
1
2+k2
…①
从而|PQ|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
,将①代入化简得|PQ|=
2
2
(1+k2)
2+k2

将|PQ|中k换成-
1
k
可得|MN|=
2
2
(k2+1)
2k2+1

所以S=
1
2
|PQ||MN|=
4(k2+1)2
(2k2+1)(k2+2)
=
4k4+8k2+4
2k4+5k2+2
=
4k4+10k2+4-2k2
2k4+5k2+2

f(k)=
4k4+10k2+4-2k2
2k4+5k2+2
=2-
2k2
2k4+5k2+2
=2-
2
2(k2+
1
k2
)+5

因为k2+
1
k2
≥2
,所以2(k2+
1
k2
)+5≥9
,故0<
2
2(k2+
1
k2
)+5
2
9

所以
16
9
≤2-
2
2(k2+
1
k2
)+5
<2
,当且仅当k2=
1
k2
即k=±1时,S=
16
9

综上(i)(ii)可知
16
9
≤S≤2
,即四边形PMQN的最大面积为2,最小面积为
16
9
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查四边形面积的计算,考查基本不等式的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的一个焦点F与抛物线y2=12x的焦点重合,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点P(m,n)是椭圆C上的一动点,求直线l:mx+ny=1被圆O:x2+y2=1所截得的弦长的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•黄埔区一模)给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,称圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(
2
,0)
,其短轴的一个端点到点F的距离为
3

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求
AB
AD
的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•黄埔区一模)给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,称圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(
2
,0)
,其短轴的一个端点到点F的距离为
3

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,求l1,l2的方程;
(3)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求
AB
AD
的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省高三3月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(本小题满分15分)

给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点的距离为

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;

(2)若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点,是椭圆C上的两相异点,且轴,求的取值范围;

(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点,过点作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.

 

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