Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$的两个焦点F₁，F₂在x轴上，P为此椭圆上一点，且满足$∠P{F_1}{F_2}=\frac{π}{6}，∠PO{F_2}=\frac{π}{3}$，则此椭圆的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质即可得出．

解答 解：∵$∠P{F_1}{F_2}=\frac{π}{6}，∠PO{F_2}=\frac{π}{3}$，∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$．
可得：|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
∴|PF₂|+|PF₁|=c+$\sqrt{3}$c=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．