Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆L：

x2

18

+

y2

9

=1上不同的两点，线段AB的中点为M(2，1)．
（1）求直线AB的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与椭圆L交于点C、D，试问四点A、B、C、D是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：解一：（1）将点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程，两式相减，再利用线段AB的中点为M(2，1)，可求直线AB的斜率

y1- y   2

x1- x   2

=-1．故可求直线AB的方程；
解二：当直线AB的不存在时，AB的中点在x轴上，不符合题意．设直线AB的方程为y-1=k（x-2），与椭圆方程联立，消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0，利用AB的中点为M（2，1），结合韦达定理，可求直线AB的方程．
（2）由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

 消去y，得3x²-12x=0，求得A（0，3），B（4，-1），将线段AB的垂直平分线方程与椭圆方程联立，消去y，得3x²-4x-16=0，从而可求线段CD的中点E的坐标，进而可知四点A、B、C、D在同一个圆上，从而可求圆的方程．

解答：解一：（1）∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆L上不同的两点，
∴

x12

18

+

y12

9

=1，

x22

18

+

y22

9

=1．
以上两式相减得：

x12- x 2 2

18

+

y12- y 2 2

9

=0，
即x12-

x

2 2

+2(y12-

y

2 2

)=0，(x1-

x

2

)(x1+

x

2

)+2(y1-

y

2

)(y1+

y

2

)=0，
∵线段AB的中点为M(2，1)，
∴x1+

x

2

=4， y1+

y

2

=2．
∴4(x1-

x

2

)+4(y1-

y

2

)=0，
当x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂则A，B重合，与已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴

y1- y   2

x1- x   2

=-1．
∴直线AB的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴所求直线AB的方程为x+y-3=0．
解二：当直线AB的不存在时，AB的中点在x轴上，不符合题意．
故可设直线AB的方程为y-1=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y-1=k(x-2) x2 18 + y2 9 =1

 消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0（*）
∴x1+x2=

8k2-4k

1+2k2

．
∵AB的中点为M（2，1），
∴x₁+x₂=4．
∴

8k2-4k

1+2k2

=4．
解得k=-1．
此时方程（*）为3x²-12x=0，其判别式△=144＞0．
∴所求直线AB的方程为x+y-3=0．
（2）由于直线AB的方程为x+y-3=0，则线段AB的垂直平分线CD的方程为y-1=x-2，即x-y-1=0．
由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴A（0，3），B（4，-1）
由

x2 18 + y2 9 =1 x-y-1=0

消去y，得3x²-4x-16=0
设C（x1′，y1′），D（x2′，y2′），
∴x′1+x′2=

4

3

，x′1x′2=-

16

3

．
∴线段CD的中点E的横坐标为xE=

x′1+x′2

2

=

2

3

，纵坐标yE=xE-1=-

1

3

．
∴E(

2

3

，-

1

3

)．
∴|CD|=

(1+1)[(x′1+x′2)2-4x′1x′2]

=

2[( 4 3 )2-4×(- 16 3 )]

=

4 26

3

．
∵|EA|=

( 2 3 )2+(- 1 3 -3)2

=

2 26

3

=

1

2

|CD|，
|EB|=

( 2 3 -4)2+(- 1 3 +3)2

=

2 26

3

=

1

2

|CD|，
∴四点A、B、C、D在同一个圆上，此圆的圆心为点E，半径为

2 26

3

，
其方程为(x-

2

3

)2+(y+

1

3

)2=

104

9

．

点评：本题重点考查椭圆中弦的中点问题，考查四点共圆，解题时，利用设而不求法是关键，考查韦达定理的运用，综合性强．