Question

已知函数，其中a为大于零的常数．
（I）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（II）设函数，若存在x₀∈[1，e]，使不等式g（x₀）≥lnx₀成立，求实数p的取值范围．（e为自然对数的底）

Answer 1

解：（I）f′（x）=（x＞0），令f′（x）=0，得x=，
所以在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，
所以f（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
因为函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，
所以，又a＞0，所以a≥1，
所以所求实数a的取值范围为[1，+∞）；
（II）存在x₀∈[1，e]使g（x₀）≥lnx₀，即存在x₀∈[1，e]使p≥+x₀成立，
令h（x）=（lnx-1）e^x+x，从而p≥h_min（x）（x∈[1，e]），
h′（x）=（）e^x+1，
由（I）知当a≥1且x≥1时，f（x）=lnx+≥f（1）=0成立，
所以-1≥0在[1，e]上成立，
所以h′（x）=+1≥1+1＞0，
所以h（x）=（lnx-1）e^x+x在[1，e]上单调递增，
所以h_min（x）=h（1）=1-e，
所以p≥1-e．
分析：（I）求导数f′（x），利用导数求出f（x）的增区间，由f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，得[1，+∞）为f（x）增区间的子集，由此得不等式，解出即可；
（II）存在x₀∈[1，e]使g（x₀）≥lnx₀，即存在x₀∈[1，e]使p≥+x₀成立，令h（x）=（lnx-1）e^x+x，从而p≥h_min（x）（x∈[1，e]），由（I）可判断h′（x）＞0，从而h（x）在[1，e]上递增，进而得h（x）的最小值，从而问题可解；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查转化思想，要准确理解“恒成立问题”与“能成立问题”的区别联系并能恰当转化．