Question

如图，平面α内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面α，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影．

(1)求证：NH⊥SB；

(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?

(3)这个图形中有多少个直角三角形?

Answer 1

答案：略
提示：

(1)证明：连AM、BM．∵AB为已知半圆直径，∴AM⊥BM．∵SA⊥平面α，MBα，∴SA⊥MB．∵AM∩SA＝A，∴MB上面SAM．∵AN面SAW，∴BM⊥AN．∵AN⊥SM，∴AN⊥面SMB．∵AH⊥SB于H，则NH为AH在面SMB内的射影，∴NH⊥SB (2)解：由(1)知，SA⊥面AMB，BM⊥面SAM，AN⊥面SMB．∵SB⊥AH且SB⊥HN，∴SB⊥平面ANH．∴图中共有4个线面垂直关系． (3)解：∵SA⊥平面AMB， ∴△SAB、△SAM均为直角三角形． ∵BM⊥平面SAM， ∴△BMA、△BMS均为直角三角形． ∴AN⊥平面SMB， ∴△ANM、△ANH、△ANS均为直角三角形． ∵SB⊥平面AHN， ∴△SHA、△BHA、△SHN均为直角三角形． 综上所述，图中共有10个直角三角形． 本题是考查直线与直线的垂直、直线与平面垂直的判定，解题时以空间的眼光观察图形，正确地发现线面的位置关系．本题的创新之处在于把垂直关系的空间化，打破学生头脑中国有的平面垂直位置关系模式，锻炼了空间想象能力，深化了对三垂线定理及逆定理的理解．