Question

若对任意x∈[0，5]，不等式1+

m

4

x≤

2

4+x

≤1+

n

5

x恒成立，则一定有（　　）

• A、m≤

  1

  2

  ，n≥-

  1

  3

• B、m≤-

  1

  2

  ，n≥-

  1

  3

• C、m≤-

  1

  2

  ，n≥

  1

  3

• D、m＜-

  1

  2

  ，n＞-

  1

  3

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：作为选择题可选用特殊值法如m=0时，由原不等式不恒成立，可排除A，再取n=0时，原不等式恒成立，可排除C，然后把m=-

1

2

代入1+

m

4

x≤

2

4+x

，利用导数证明对任意x∈[0，5]，不等式1+

m

4

x≤

2

4+x

恒成立排除D，则答案可求．

解答： 解：当m=0时，1+

m

4

x≤

2

4+x

化为1≤

2

4+x

，对于任意x∈[0，5]不等式不恒成立，可排除A，
当n=0时，不等式

2

4+x

≤1+

n

5

x化为

2

4+x

≤1，对于任意x∈[0，5]不等式恒成立，可排除C，
当m=-

1

2

时，令f（x）=

2

4+x

-1+

1

8

x，则f′(x)=-

1

(4+x)3

+

1

8

＞0对于任意x∈[0，5]恒成立，
∴f（x）为增函数，则f（x）＞f（0）=0．即不等式

2

4+x

≥1-

1

8

x恒成立．由此排除D，
故选：B．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，作为客观题可灵活地选择方法，提高学习效率，培养学生的能力是中档题．