Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求f（x）=x³+ax²+bx在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由；
（3）设存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=3x²+2ax+b．依题意则有：

f(1)=4 f′(1)=0

，解得

a=-6 b=9

，所以f（x）=x³-6x²+9x；求导f′（x）利用导数研究f（x）在区间（0，4]上的变化情况即可得到函数f（x）=x³-6x²+9x在区间[0，4]上的最大值，最小值．
（Ⅱ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点（3，0）不在区间[s，t]上；下面分类讨论：（1）若极值点M（1，4）在区间[s，t]，（2）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增，（3）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调减，看是不是存在这样的正数s即可；
（Ⅲ）同（Ⅱ），极值点（3，0）不可能在区间[s，t]上；分类讨论：（1）若极值点M（1，4）在区间[s，t]，（2）若函数f（x）在区间[s，t]单调递增，（3）若函数f（x）在区间[s，t]单调递减，综上可得结果．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=3x²+2ax+b．依题意则有：

f(1)=4 f′(1)=0

，所以

1+a+b=4 3+2a+b=0

，解得

a=-6 b=9

，所以f（x）=x³-6x²+9x；
f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），由f′（x）=0可得x=1或x=3．
f′（x），f（x）在区间（0，4]上的变化情况为：

所以函数f（x）=x³-6x²+9x在区间[0，4]上的最大值是4，最小值是0．
（Ⅱ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点（3，0）不在区间[s，t]上；
（1）若极值点M（1，4）在区间[s，t]，此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t；故在区间[s，t]上没有极值点；
（2）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增，即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
则

f(s)=s f(t)=t

，即

s3-6s2+9s=s t3-6t2+9t=t

，解得

s=2 t=4

不合要求；
（3）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调减，即1＜s＜t＜3，则

f(s)=t f(t)=s

，
两式相减并除s-t得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0，①
两式相除并开方可得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，
即s（3-s）=t（3-t），整理并除以s-t得：s+t=3，②
代入①有st=1，与1＜s＜t＜3矛盾．
（Ⅲ）同（Ⅱ），极值点（3，0）不可能在区间[s，t]上；
（1）若极值点M（1，4）在区间[s，t]，此时0＜s≤1≤t＜3，
故有①

0＜s≤1≤t＜3 kt=4 ks=f(s) f(s)≤f(t)

或②

0＜s≤1≤t＜3 kt=4 ks=f(t) f(s)≥f(t)

①由k=

4

t

，1≤t＜3知，k∈（

4

3

，4]，当且仅当t=1时，k=4；
再由k=（s-3）²，0＜s≤1知，k∈[4，9），当且仅当s=1时，k=4
由于s≠t，故不存在满足要求的k值．
②由s=

1

k

f（t）=

t

4

f（t）=[

t(3-t)

2

]²，及0＜s≤1可解得2≤t＜3，
所以k=

4

t

，2≤t＜3知，k∈（

4

3

，2]；
即当k∈（

4

3

，2]时，存在t=

4

k

∈[2，3），s=

1

k

f（t）=

t

4

f（t）=[

t(3-t)

2

]²∈（0，1]，
且f（s）≥4s=

4

k

f（t）＞f（t），满足要求．
（2）若函数f（x）在区间[s，t]单调递增，则0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
且

f(s)=ks f(t)=kt

，故s，t是方程x²-6x+9=k的两根，
由于此方程两根之和为3，故[s，t]不可能同在一个单调增区间；
（3）若函数f（x）在区间[s，t]单调递减，则1＜s＜t＜3，

f(s)=ks f(t)=kt

，
两式相除并整理得s²（s-3）²=t²（t-3）²，由1＜s＜t＜3知s（s-3）=t（t-3），即s+t=3，
再将两式相减并除以s-t得，-k=（s²+st+t²）-6（s+t）+9=（s+t）²-6（s+t）+9-st=-st，
即k=st，所以s，t是方程x²-3x+k=0的两根，令g（x）=x²-3x+k，
则

△=9-4k＞0 g(1)＞0 g(3)＞0

，解得2＜k＜

9

4

，即存在s=

3- 9-4k

2

，s=

3+ 9-4k

2

满足要求．
综上可得，当

4

3

＜k＜

9

4

时，存在两个不等正数s，t（s＜t），
使x∈[s，t]时，函数f（x）=x³-6x²+9x的值域恰好是[ks，kt]．

点评：本题主要考查了导数的几何意义、利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．