Question

【题目】对于给定的正整数k，如果各项均为正数的数列{an}满足：对任意正整数n（n＞k），an﹣kan﹣k+1…an﹣1an+1…an+k﹣1an+k=an2k总成立，那么称{an}是“Q（k）数列”．
（1）若{an}是各项均为正数的等比数列，判断{an}是否为“Q（2）数列”，并说明理由；
（2）若{an}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，求证：{an}是等比数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：假设{an}是各项均为正数的等比数列，由等比数列的性质可得：an﹣2an﹣1an+1an+2=an﹣2an+2an﹣1an+1= = ．

∴{an}为“Q（2）数列”

（2）证明：{an}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，

∴an﹣2an﹣1an+1an+2= ．an﹣3an﹣2an﹣1an+1an+2an+3= ．

可得：an﹣3an+3= ．对于任意n∈N*（n≥4）都成立．

∴{an}是等比数列

【解析】（1）根据等比数列的性质an-1an+1=an2即可求证；（2）根据题意可知数列满足关系式an-2an-1an+1an+2=an4和an-3an-2an-1an+1an+2an+3=an6，两式相除可得an-3an+3=an2.
【考点精析】本题主要考查了等比数列的基本性质的相关知识点，需要掌握{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列才能正确解答此题．