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已知命题p:在区间[-1,1]上至少存在一个实数x,使不等式x2+ax-2>0成立;命题q:方程sinx•cosx=a+2,x∈(0,
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π
]有两个解.若命题“p或q”是真命题,求实数a的取值范围.
分析:先求出命题p,q的等价条件,然后利用命题“p∨q”是真命题,则命题P、q至少一个为真命题,求a的取值范围.
解答:解:由于在区间[-1,1]上至少存在一个实数x,不等式x2+ax-2>0成立;
令f(x)=x2+ax-2,则f(1)>0或f(-1)>0
解得:a<-1或a>1,
∴命题p为真命题时,a<-1或a>1;
∵a+2=
1
2
sin2x,x∈(0,
3
4
π
]有两个解,
0<a+2<
1
2
,解得:-2<a<-
3
2

∴命题q为真命题时,-2<a<-
3
2

由于命题“p或q”是真命题,根据复合命题真值表,命题p、q至少一个为真命题,
①当命题p为真命题q为假命题时,a≤-2或-
3
2
≤a<-1或a>1;
②当命题p为假命题q为真命题时,a无解;
③当命题p为真命题也为真命题时,a<-1或a>1;
综上可知,实数a的取值范围为:a<-1或a>1.
点评:本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用,将命题进行等价化简是解决此类问题的关键.
练习册系列答案
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