Question

10．设二次函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0），方程f（x）=x的两个实数根为x₁，x₂，若0＜x₁＜2，|x₂-x₁|=2，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 先有a＞0，知两根同号，在分x₂-x₁=2，或x₁-x₂=2两种情况来讨论，最后综合讨论结果，可求b的取值范围．

解答 解：由g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，知x₁•x₂=$\frac{1}{a}$＞0，故x₁与x₂同号．
∵0＜x₁＜2，|x₂-x₁|=2，
∴x₂-x₁=2，或x₁-x₂=2，
当x₂-x₁=2时，
∴x₂=x₁+2＞2．
∴$\left\{\begin{array}{l}g（2）＜0\\ g（4）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4a+2b-1＜0\\ 16a+4b-3＞0\end{array}\right.$⇒b＜$\frac{1}{4}$，
当x₁-x₂=2时，x₂=x₁-2＜0不满足条件，
∴b的取值范围为b＜$\frac{1}{4}$．

点评 利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解．二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解．此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想．