精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
12.已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)•ex,t∈R.
(1)当t=1时,求函数y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若函数y=f(x)有三个不同的极值点,求t的取值范围;
(3)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,求正整数m的最大值.

分析 (1)求出f(x)的导数,就是f(0),f′(0),求出切线方程即可;
(2)求导函数,利用f(x)有三个极值点,可得f′(x)=0有三个根,构造新函数,确定其单调性,从而可得不等式,即可求t的取值范围;
(3)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x,转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立,构造新函数,确定单调性,计算相应函数值的正负,即可求正整数m的最大值.

解答 解:(1)∵t=1,f(x)=(x3-6x2+3x+1)•ex
∴f'(x)=(x3-3x2-9x+4)•ex
∴f'(0)=4;∵f(0)=1,即切点(0,1),
∴y=f(x)在x=0处的切线方程为:y=4x+1.
(2)f′(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex
∵f(x)有三个极值点,∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个根,
令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上递增,(-1,3)上递减,
∵g(x)有三个零点,
∴$\left\{\begin{array}{l}{g(-1)>0}\\{g(3)<0}\end{array}\right.$,
∴-8<t<24;
(3)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,
即t≤xe-x-x3+6x2-3x.
转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],
不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.
即不等式2≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立;
设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ(x)=-g-x-2x+6.
设r(x)=φ(x)=-g-x-2x+6,则r′(x)=g-x-2,
因为1≤x≤m,有r′(x)<0.
故r(x)在区间[1,m]上是减函数,
又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0
故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0.
当1≤x<x0时,有φ′(x)>0,当x>x0时,有φ′(x)<0.
从而y=φ(x)在区间[1,x0)上递增,在区间(x0,+∞)上递减;
又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0
φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0
所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;当x≥6时,恒有φ(x)<0;
故使命题成立的正整数m的最大值为5.

点评 本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,难度较大.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

2.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6,O′C′=2,则原图形OABC的面积为24$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产A、B两种奶制品,如用甲类设备加工一桶牛奶,需耗电12千瓦时,可得3千克A制品;如用乙类设备加工一桶牛奶,需耗电8千瓦时,可得4千克B制品.根据市场需求,生产的A、B两种奶制品能全部售出,每千克A获利a元,每千克B获利b元.现在加工厂每天最多能得到50桶牛奶,每天两类设备工作耗电的总和不得超过480千瓦时,并且甲类设备每天至多能加工102千克A制品,乙类设备的加工能力没有限制.其生产方案是:每天用x桶牛奶生产A制品,用y桶牛奶生产B制品(为了使问题研究简化,x,y可以不为整数).
(Ⅰ)若a=24,b=16,试为工厂制定一个最佳生产方案(记此最佳生产方案为F0),即x,y分别为何值时,使工厂每天的获利最大,并求出该最大值;
(Ⅱ) 随着季节的变换和市场的变化,以及对原配方的改进,市场价格也发生变化,获利也随市场波动.若a=24(1+4λ),b=16(1+5λ-5λ2)(这里0<λ<1),其它条件不变,试求λ的取值范围,使工厂当且仅当采取(Ⅰ)中的生产方案F0时当天获利才能最大.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.已知集合P={1,3,5,7},Q={x|2x-1>11},则P∩Q等于(  )
A.{7}B.{5,7}C.{3,5,7}D.{x|6<x≤7}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

7.已知点P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右支上一点,F1,F2为双曲线的左、右焦点,使($\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)($\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)=0(O为坐标原点),且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|,则双曲线离心率为(  )
A.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$B.$\sqrt{6}$+1C.$\sqrt{3}$+1D.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.中心在原点,焦点坐标为$(±\sqrt{2},0)$的椭圆被直线y=x+1截得的弦中点横坐标为$-\frac{2}{3}$,则椭圆方程为(  )
A.$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$B.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$D.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.下列各命题是真命题的是(  )
A.如果a>b,那么$\frac{a}{c}$>$\frac{b}{c}$B.如果ac<bc,那么a<b
C.如果a>b,c>d,那么a-c>b-dD.如果a>b,那么a-c>b-c

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.已知等差数列{an}的前n项和 Sn,且a4=11,S8=100;数列{bn}满足${b_1}=\frac{1}{2}{a_1}$,anbn+1+bn+1=nbn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.底面半径为4,高为$8\sqrt{2}$的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱).
(1)设正四棱柱的底面边长为x,试将棱柱的高h表示成x的函数;
(2)当x取何值时,此正四棱柱的表面积最大,并求出最大值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案