Question

已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

．
（1）求角A的值；
（2）若a=

3

，则求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在锐角△ABC中，根据条件利用正弦定理可得 （sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），化简可得cosA
=

1

2

，由此可得A的值．
（2）由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=2，可得 b=2（sinB+sinC）=2

3

sin（B+

π

6

）．
再由

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围．

解答：解：（1）在锐角△ABC中，根据（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

，利用正弦定理可得
（sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），
化简可得cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）若a=

3

，则由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=2，
∴b=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（

2π

3

-B）]=3sinB+

3

cosB=2

3

sin（B+

π

6

）．
由于

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

，求得

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

．
∴sin（B+

π

6

）∈（

3

2

，1]，∴b+c∈（3，2

3

]．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．