Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G分别是AB、BC、B₁C₁的中点．下列说法正确的是     （写出所有正确命题的编号）．
①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA₁C₁C平行；
②点Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；
③点M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则点M的轨迹是一条的直线；
④以正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA₁异面的有10条．

Answer 1

【答案】分析：画出正方体图形，
①P在直线EF上运动时，可证面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，从而判定①是否成立；
②Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；三角形AD₁Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值．
③M是正方体的面A₁B₁C₁D₁内到点D和 C₁距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段A₁D₁满足题意．
④可列举出所求与棱AA₁异面的直线，从而判定真假．
解答：解：①P在直线EF上运动时，EF∥AC，GF∥C₁C，可知面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，所以①成立；
②Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；如图（2）三角形AD₁Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值．
③M是正方体的面A₁B₁C₁D₁内到点D和 C₁距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段A₁D₁满足题意．
④以正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA₁异面的有BC、BC₁、B₁C、B₁C₁、C₁D₁、B₁D₁、CD、CD₁、C₁D、BD₁、B₁D、BD共12条，故不正确；
故答案为：①②③．
点评：本题考查棱锥的结构特征，轨迹方程，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．