Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a为实数．
（Ⅰ）讨论并求出f（x）的极值；
（Ⅱ）在a＜1时，是否存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，并说明理由；
（Ⅲ） 确定a的可能取值，使得存在n＞1，对任意的x∈（1，n），恒有|f（x）|＜（x﹣1）2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f'（x）= ﹣a，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数在定义域（0，+∞）递增，没有极值；
当a＞0时，令f'（x）=0，则x= ，
当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，函数为增函数，
当x∈（ ，+∞）时，f'（x）＜0，函数为减函数，
故当x= 时，函数有极大值 ，没有极小值．
（Ⅱ）在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，理由如下：
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数在（1，m）递增，
此时f（x）＞f（1）=0，
当0＜a＜1时， ＞1，
当x∈（1，m）（1， ）时，f（x）＞f（1）=0，
综上可得：在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，
（Ⅲ）当a＞1时，由（I）知，对于任意x∈（1，+∞），|f（x）|=a（x﹣1）﹣lnx，
令M（x）=a（x﹣1）﹣lnx﹣（x﹣1）2 ， x∈（1，+∞），
则有M′（x）= ，
故当x∈（1， ）时，M′（x）＞0，M（x）
在[1， ）上单调递增，
故M（x）＞M（1）=0，即|f（x）|＞（x﹣1）2 ，
∴满足题意的t不存在．
当a＜1时，由（Ⅱ）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），|f（x）|=lnx﹣a（x﹣1），
令N（x）=lnx﹣a（x﹣1）﹣（x﹣1）2 ， x∈[1，+∞），则有N′（x）= ，
故当x∈（1， ）时，N′（x）＞0，M（x）在[1， ）上单调递增，故N（x）＞N（1）=0，
即f（x）＞（x﹣1）2 ， 记x0与 中较小的为x1 ，
则当x∈（1，x1）时，恒有|f（x）|＞（x﹣1）2 ， 故满足题意的t不存在．
当a=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）|=x﹣1﹣lnx，
令H（x）=x﹣1﹣lnx﹣（x﹣1）2 ， x∈[1，+∞），则有H′（x）= ，
当x＞1，H′（x）＜0，∴H（x）在[1，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（1）=0，
故当x＞1时，恒有|f（x）|＜（x﹣1）2 ， 此时，任意实数t满足题意．
综上，a=1
【解析】（Ⅰ）求导，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数无极值，当a＞0时，当x= 时，函数有极大值 ，没有极小值．（Ⅱ）结合（I）中函数的单调性，可证得：在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0；（Ⅲ）分a＞1、a＜1和a=1把不等式|f（x）|＜（x﹣1）2的左边去绝对值，即可得出结论．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．