Question

等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，则下列条件中，使{a_n}一定为递减数列的条件是（　　）

• A．|q₁＜1|
• B．a₁＞0，q＜1
• C．

  a

  1

  ＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1
• D．q＞1

Answer 1

分析：利用等比数列单调性的定义，通过对首项a₁，公比q的情况的讨论即可求得答案．

解答：解：等比数列{a_n}为递减数列，
①当首项a₁＞0，公比0＜q＜1时，

an+1

an

=q∈（0，1），
∴{a_n}为递减数列；
②当首项a₁＞0，公比q=1时，{a_n}为常数数列，与题意不符；
③当首项a₁＞0，公比q＞1时，数列{a_n}为递增数列，与题意不符；
综上述，当首项a₁＞0，公比0＜q＜1时{a_n}为递减数列；
同理可得，当首项a₁＜0，公比q＞1时{a_n}为递减数列；
∴使{a_n}一定为递减数列的条件是a₁＞0，0＜q＜1或a₁＜0，q＞1．
故选C．

点评：本题考查数列的函数特性，突出考查等比数列的通项公式与函数单调性的判断，属于中档题．