分析 (1)构造函数u(x)=ex-(x+1),求出导函数u'(x)=ex-1,根据导函数求出函数的最小值即可;
(2)h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)-ax+ex,求出导函数$h'(x)={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$.求出$h''(x)={e^x}-\frac{1}{{{{(x+1)}^2}}}$=$\frac{{{{(x+1)}^2}{e^x}-1}}{{{{(x+1)}^2}}}≥0$,得出h'(x)在[0,+∞)上递增,对参数a分类讨论,得出原函数的最小值为1即可.
解答 (1)证明:令u(x)=ex-(x+1),则u'(x)=ex-1,
所以x<0时u'(x)<0,x>0时u'(x)>0,
所以u(x)≥u(0)=0,即ex≥x+1
(2)解:h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)-ax+ex,$h'(x)={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$.
因为$h''(x)={e^x}-\frac{1}{{{{(x+1)}^2}}}$=$\frac{{{{(x+1)}^2}{e^x}-1}}{{{{(x+1)}^2}}}≥0$,
所以h'(x)在[0,+∞)上递增
①当a>2时,h'(0)=2-a<0,
又$h'(lna)={e^{lna}}+\frac{1}{lna+1}-a$=$\frac{1}{lna+1}>0$
则存在x0∈(0,lna),使得h'(x0)=0.
所以h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,又h(x0)<h(0)=1,
所以h(x)≥1不恒成立,不合题意.
②当a≤2时,
因为h'(0)=2-a>0,所以h'(x)>0在[0,+∞)上恒成立
即h(x)在[0,+∞)上为增函数,所以h(x)≥h(0)=1恒成立,符合题意.
综合①②可知,所求实数a的取值范围是(-∞,2].
点评 本题考查了导函数的应用,难点是在求函数最值时对参数的分类讨论和二次求导的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 如果l1∥α,l2∥α,则一定有l1∥l2 | B. | 如果l1⊥l2,l2⊥α,则一定有l1⊥α | ||
C. | 如果l1⊥l2,l2⊥α,则一定有l1∥α | D. | 如果l1⊥α,l2∥α,则一定有l1⊥l2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2+$\sqrt{3}$ | B. | 5+2$\sqrt{6}$ | C. | 8+$\sqrt{15}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | 4 | D. | 5 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 24 | B. | 36 | C. | 42 | D. | 60 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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