精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
12.已知函数f(x)=lnx-a(x-1),g(x)=ex
(1)求证:g(x)≥x+1(x∈R);
(2)设h(x)=f(x+1)+g(x),若x≥0时,h(x)≥1,求实数a的取值范围.

分析 (1)构造函数u(x)=ex-(x+1),求出导函数u'(x)=ex-1,根据导函数求出函数的最小值即可;
(2)h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)-ax+ex,求出导函数$h'(x)={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$.求出$h''(x)={e^x}-\frac{1}{{{{(x+1)}^2}}}$=$\frac{{{{(x+1)}^2}{e^x}-1}}{{{{(x+1)}^2}}}≥0$,得出h'(x)在[0,+∞)上递增,对参数a分类讨论,得出原函数的最小值为1即可.

解答 (1)证明:令u(x)=ex-(x+1),则u'(x)=ex-1,
所以x<0时u'(x)<0,x>0时u'(x)>0,
所以u(x)≥u(0)=0,即ex≥x+1
(2)解:h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)-ax+ex,$h'(x)={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$.
因为$h''(x)={e^x}-\frac{1}{{{{(x+1)}^2}}}$=$\frac{{{{(x+1)}^2}{e^x}-1}}{{{{(x+1)}^2}}}≥0$,
所以h'(x)在[0,+∞)上递增
①当a>2时,h'(0)=2-a<0,
又$h'(lna)={e^{lna}}+\frac{1}{lna+1}-a$=$\frac{1}{lna+1}>0$
则存在x0∈(0,lna),使得h'(x0)=0.
所以h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,又h(x0)<h(0)=1,
所以h(x)≥1不恒成立,不合题意.
②当a≤2时,
因为h'(0)=2-a>0,所以h'(x)>0在[0,+∞)上恒成立
即h(x)在[0,+∞)上为增函数,所以h(x)≥h(0)=1恒成立,符合题意.
综合①②可知,所求实数a的取值范围是(-∞,2].

点评 本题考查了导函数的应用,难点是在求函数最值时对参数的分类讨论和二次求导的应用.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.l1、l2是空间两条直线,α是平面,以下结论正确的是(  )
A.如果l1∥α,l2∥α,则一定有l1∥l2B.如果l1⊥l2,l2⊥α,则一定有l1⊥α
C.如果l1⊥l2,l2⊥α,则一定有l1∥αD.如果l1⊥α,l2∥α,则一定有l1⊥l2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.已知变量x,y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{x-3y≤-2}\\{x≥1}\end{array}\right.$若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为2,则$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为(  )
A.2+$\sqrt{3}$B.5+2$\sqrt{6}$C.8+$\sqrt{15}$D.2$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.已知定义在(0,∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且?x∈(0,+∞),f[f(x)-log2015x]=2017,设a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是a>c>b.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.设$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$是两个向量,则“$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|>|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$”是“$\overrightarrow a•\overrightarrow b>0$”的充要条件.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.设函数f(x)=ex-ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若a=b=1,求f(x)在区间[-1,2]上的取值范围;
(Ⅱ)若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,记M(a,b)=a-b,求M(a,b)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.若x,y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+y≤6}\\{x-2y≤0}\end{array}\right.$,则z=x2+y2的最小值是(  )
A.2B.$\sqrt{5}$C.4D.5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口,若某一家庭有3个人检票进站,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这个家庭3个人的不同进站方式有(  )种.
A.24B.36C.42D.60

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.已知△ABC中,D为边AC上一点,BC=2$\sqrt{2}$,∠DBC=45°.
(Ⅰ)若CD=2$\sqrt{5}$,求△BCD的面积;
(Ⅱ)若角C为锐角,AB=6$\sqrt{2}$,sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,求CD的长.

查看答案和解析>>

同步练习册答案