Question

12．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（1）求证：g（x）≥x+1（x∈R）；
（2）设h（x）=f（x+1）+g（x），若x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）构造函数u（x）=e^x-（x+1），求出导函数u'（x）=e^x-1，根据导函数求出函数的最小值即可；
（2）h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）-ax+e^x，求出导函数$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$．求出$h''（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}$=$\frac{{{{（x+1）}^2}{e^x}-1}}{{{{（x+1）}^2}}}≥0$，得出h'（x）在[0，+∞）上递增，对参数a分类讨论，得出原函数的最小值为1即可．

解答 （1）证明：令u（x）=e^x-（x+1），则u'（x）=e^x-1，
所以x＜0时u'（x）＜0，x＞0时u'（x）＞0，
所以u（x）≥u（0）=0，即e^x≥x+1
（2）解：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）-ax+e^x，$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$．
因为$h''（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}$=$\frac{{{{（x+1）}^2}{e^x}-1}}{{{{（x+1）}^2}}}≥0$，
所以h'（x）在[0，+∞）上递增
①当a＞2时，h'（0）=2-a＜0，
又$h'（lna）={e^{lna}}+\frac{1}{lna+1}-a$=$\frac{1}{lna+1}＞0$
则存在x₀∈（0，lna），使得h'（x₀）=0．
所以h（x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，又h（x₀）＜h（0）=1，
所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．
②当a≤2时，
因为h'（0）=2-a＞0，所以h'（x）＞0在[0，+∞）上恒成立
即h（x）在[0，+∞）上为增函数，所以h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．
综合①②可知，所求实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了导函数的应用，难点是在求函数最值时对参数的分类讨论和二次求导的应用．