Question

【题目】已知一个递增的等差数列{an}的前三项的和为﹣3，前三项的积为8．数列 的前n项和为 ．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求数列 的通项公式．
（3）是否存在一个等差数列{cn}，使得等式 对所有的正整数n都成立．若存在，求出所有满足条件的等差数列{cn}的通项公式，并求数列{bn}的前n项和Tn；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：一个递增的等差数列{an}的前三项的和为﹣3，前三项的积为8．

设此三项分别为：a﹣d，a，a+d，d＞0．

可得：a﹣d+a+a+d=﹣3，（a﹣d）a（a+d）=8，

解得a=﹣1，d=3．

∴an=﹣1+3（n﹣1）=3n﹣4．

（2）解：数列 的前n项和为 ．

n≥2时， =Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣2）=2n．

n=1时， =22﹣2=2，对于上式也成立．

∴ =2n．

（3）解：由（1）（2）可得：bn=（3n﹣4）2n．

假设存在一个等差数列{cn}，使得等式 对所有的正整数n都成立．

则（3n﹣4）2n= ﹣ ，

可得：2cn+1﹣cn=3n﹣4，

令cn=pn+q（p，q为常数）．

∴2[p（n+1）+q]﹣（pn+q）=3n﹣4，

化为：pn+2p+q=3n﹣4，

可得 ，解得p=3，q=﹣10．

∴cn=3n﹣10．

【解析】（1）一个递增的等差数列{an}的前三项的和为﹣3，前三项的积为8．设此三项分别为：a﹣d，a，a+d，d＞0．可得：a﹣d+a+a+d=﹣3，（a﹣d）a（a+d）=8，联立解得a，d，即可得出an．（2）数列 的前n项和为 ．n≥2时， =Sn﹣Sn﹣1．n=1时， =22﹣2，可得 ．（3）由（1）（2）可得：bn=（3n﹣4）2n．假设存在一个等差数列{cn}，使得等式 对所有的正整数n都成立．可得（3n﹣4）2n= ﹣ ，令cn=pn+q（p，q为常数）．代入即可得出．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．