Question

【题目】已知F2、F1是双曲线 =1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A.3
B.
C.2
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c）， 一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为 =b．
设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，
∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，
又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，
∴△MF1F2为直角三角形，
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2
∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2 ，
∴c=2a，∴e=2．
故选C．
首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2 ， 运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．