Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB=2，O为AB的中点，沿OC将△AOC折起到△A′OC的位置，使得直线A′B与平面ABC成30°角．
（1）若点A′到直线BC的距离为l，求二面角A′-BC-A的大小；
（2）若∠A′CB+∠OCB=π，求BC边的长．

Answer 1

分析：（1）过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，由已知中AC=BC，沿OC将△AOC折起到△A′OC的位置，易根据面面垂直的判定定理得到平面A′OB⊥平面ABC，进而得到A′D⊥平面ABC，再根据已知中直线A′B与平面ABC成30°角，求出A′D的长度，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接A′E，易得∠A′ED为二面角A′-BC-A的平面角，解Rt△A′DE即可求出二面角A′-BC-A的大小；
（2）设BC=x，∠A′CB=θ，则A′C=x，∠OCB=π-θ，解Rt△BOC，△A′DB，△A′BC，可以求出x值的大小，进而得到BC边的长．

解答：解：（1）由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC．
过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，则A′D⊥平面ABC，…（2分）
∴∠A′ED=30°，又A′O=BO=1，∴∠A′OD=60°，
从而A′D=A′O•sin60°=

3

2

．…（4分）
过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接A′E，据三垂线定理，A′E⊥BC．
∴∠A′ED为二面角A′-BC-A的平面角．…（5分）
由已知，A′E=1，在Rt△A′DE中sin∠A′ED=

A′D

A′E

=

3

2

∴∠A′ED=60°故二面角A′-BC-A的大小为60°．…（6分）
（2）设BC=x，∠A′CB=θ，则A′C=x，∠OCB=π-θ．
在Rt△BOC中，sin∠OCB=

OB

BC

∴sin（π-θ）=

1

x

，即sinθ=

1

x

…（9分）
在△A′DB中，A′B=

A′D

sin30°

=

3

在△A′BC中，A′B²=A′C²+BC²-2A′C•BC•cos∠A′CB
∴3=x²+x²-2x²•cosθ，即cosθ=1-

3

2x2

…（12分）
∵sin²θ+cos²θ=1
∴

1

x2

+（1-

3

2x2

）²=1
解得x=

3 2

4

故BC=

3 2

4

…（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，空间两点之间的距离计算，其中（1）的关键是构造出∠A′ED为二面角A′-BC-A的平面角，（2）的关键是设出BC边的长，根据已知条件，结合解三角形的方法（余弦定理）构造出关于x的方程．