Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂、是一个直角三角形的三个顶点，则P到x轴的距离为

 

．

Answer 1

分析：设点P（x，y），表示出点P到x轴的距离为|y|，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x=±4得结果，在第二类中要列出方程组，再用等面积法求|y|．

解答：解：设点P（x，y），则到x轴的距离为|y|
由于a=5，b=3，∴c=4，
（1）若∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°，
令x=±4得y²=9 （1-

16

25

）=

81

25

，
∴|y|=

9

5

，即P到x轴的距离为

9

5

．
（2）若∠F₁PF₂=90°，则

|PF1|+|PF2|=10 |PF12+|PF22=82

，
∴|PF₁||PF₂|=

1

2

（10²-8²）=18，
∵

1

2

|PF₁||PF₂|=

1

2

|F₁F₂||y|，
∴|y|=

9

4

，
由（1）（2）知：P到x轴的距离为

9

5

或，
故答案为

9

5

或

9

4

．

点评：本题考查了椭圆的性质，在谁为直角的情况下，用到分类讨论，在计算过程中，用勾股定理和椭圆的定义得出方程组，用完全平方各得出两个求和数的乘积，大大简化了计算量，等面积法用到比较特殊的图形中．