Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c，其中c为常数，则该数列{a_n}为等比数列的充要条件是

1. A.
   c=-1
2. B.
   c=0
3. C.
   c=1
4. D.
   c=2

Answer 1

A
分析：由已知中等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c，根据a_n=S_n-S_n-1，我们可以求出数列{a_n}的通项公式，进而得到数列的首项和公比，再由a₁=S₁，我们可以构造关于c的方程，解方程即可得到c的值，进而得到该数列{a_n}为等比数列的充要条件．
解答：∵S_n=2ⁿ+c，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+c）-（2^n-1+c）=2^n-1，
故等比数列{a_n}的公比q=2，首项a₁=1
而当n=1时，a₁=S₁=2¹+c=1
故c=-1
故选A
点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，等比关系的确定，其中根据a_n=S_n-S_n-1，求出数列{a_n}的通项公式，进而由a₁=S₁，构造关于c的方程，是解答本题的关键．