Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）采用赋值法，令令a=b=0，得f（0）=0，再令a=-b，得f（a）+f（-a）=f（0）=0，从而f（-x）=-f（x）；
（2）利用单调性的定义判断函数f（x）在R上是单调递减的，从而可求得f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答：（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b），
令a=-b，得f（0）=f（a）+f（-a）；
令a=b=0，得f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
∴f（a）+f（-a）=0（a∈R）．
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
（2）解：设x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴函数f（x）在R上是单调递减的．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值是f（3）．
∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，
f（3）=f（2）+f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6．

点评：本题考查抽象函数及其用，着重考查函数的奇偶性与单调性的定义及其应用，属于中档题．