Question

抛物线y²=2px（p＞0），其准线方程为x=-1，过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点．
（Ⅰ）若点A为MB中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设抛物线的焦点为F，当AF⊥BF时，求△ABF的面积．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ）∵抛物线的准线方程为x=-1
∴

p

2

=1，p=2-----------------------（1分）
∴抛物线的方程为y²=4x-----------------------（2分）
显然，直线l与坐标轴不平行
∴设直线l的方程为x=my-1，A(

y 21

4

，y1)B(

y 22

4

，y2)-----------------------（3分）
联立直线与抛物线的方程

x=my-1 y2=4x

，得y²-4my+4=0-----------------------（4分）
△=16m²-16＞0，解得m＜-1或m＞1-----------------------（5分）
∵点A为MB中点，∴y1=

0+y2

2

，即y₂=2y₁
∴y1y2=2y12=4，解得y1=±

2

-----------------------（6分）
y₁+y₂=4m，∴4m=

2

+2

2

或4m=-

2

-2

2

∴m=±

3

4

2

-----------------------（7分）
直线方程为4x-3

2

y+4=0或4x+3

2

y+4=0．-----------------------（8分）
（Ⅱ）焦点F（1，0），

FA

=(

y 21

4

-1，y1)，

FB

=(

y 22

4

-1，y2)
∵AF⊥BF

FA • FB = y 21 4 • y 22 4 - y 21 4 - y 22 4 +1+y1y2 = y 21 y 22 16 - y 21 + y 22 4 +1+y1y2 =8- (y1+y2)2 4 =0

∴(y1+y2)2=32-----------------------（11分）

S△ABF=S△MBF-S△AMF= 1 2 |MF|•|y2|- 1 2 |MF|•|y1| =|y2|-|y1|= (y1+y2)2-4y1y2 =4

-----------------------（13分）