Question

给出以下命题：
①存在实数x使sinx+cosx=

3

2

；
②若α、β是第一象限角，且α＞β，则  cosα＜cosβ；
③函数y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期是T=π；
④若cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0；
其中正确命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：通过化简求最值可判断①是否正确；
通过举例，判断②是否正确；
通过化简函数及余弦函数的最小正周期来判断③是否正确；
先求出α、β的值再判断α+β的值，从而判断④是否正确．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，∴①错误；
∵

7π

6

、

π

3

是第一象限角，而cos

7π

6

=

3

2

＞cos

π

3

=

1

2

，∴②错误；
∵函数y=cos⁴x-sin⁴x=（sin²x+cos²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，∴函数的最小正周期是T=π，∴③正确；
∵cosαcosβ=1⇒cosα=cosβ=1 或cosα=cosβ=-1⇒α，β=2kπ或α、β=2kπ+π，∴α+β=kπ，∴④正确．
故答案是③④．

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．