Question

设点E、F分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点，△ABF是正三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设椭圆C的焦距为2，过点P（3，0）且不与坐标轴重合的直线交椭圆C于M、N两点，点M关于x轴的对称点为M'，求证：直线M'N过x轴一定点，并求此定点坐标．

Answer 1

解：（1）设椭圆的半焦距为c，则 直线AB的方程为x=-c，将x=-c代入椭圆方程=1，注意到c²=a²-b²，解得y=±，所以|AB|=，|EF|=2c
∵△ABF是正三角形，
∴
∴
∵，b²=a²-c²，
∴e²+2e-=0
∴或（舍去）
故所求椭圆的离心率为
（2）由（1）知，a²=3c²，b²=2c²，∴椭圆的方程为，显然，直线l的斜率不为0
因此，可设直线MN的方程为x=my+3代入椭圆方程可得（2m²+3）y²+12my+12=0
∵直线交椭圆C于M、N两点，∴△=48（m²-3）＞0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M′（x₁，-y₁），
∴y₁+y₂=-，y₁y₂=①
设直线M'N与x轴的交点为Q（t，0）
∵k_QM=k_QN，∴=-
∴t=②
∵x₁=my₁+3，x₂=my₂+3③
将①③代入②得t==3-2=1
∴直线M'N过x轴一定点Q（1，0）．
分析：（1）设椭圆的半焦距为c，则 直线AB的方程为x=-c，将x=-c代入椭圆方程，求得|AB|=，|EF|=2c，根据△ABF是正三角形，可得，从而可求椭圆的离心率；
（2）确定椭圆的方程为，设直线MN的方程为x=my+3代入椭圆方程，利用韦达定理及k_QM=k_QN，即可求导直线M'N过x轴一定点．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．