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设点E、F分别是椭圆C:数学公式(a>b>0)的左、右焦点,过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点,△ABF是正三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设椭圆C的焦距为2,过点P(3,0)且不与坐标轴重合的直线交椭圆C于M、N两点,点M关于x轴的对称点为M',求证:直线M'N过x轴一定点,并求此定点坐标.

解:(1)设椭圆的半焦距为c,则 直线AB的方程为x=-c,将x=-c代入椭圆方程=1,注意到c2=a2-b2,解得y=±,所以|AB|=,|EF|=2c
∵△ABF是正三角形,


,b2=a2-c2
e2+2e-=0
(舍去)
故所求椭圆的离心率为
(2)由(1)知,a2=3c2,b2=2c2,∴椭圆的方程为,显然,直线l的斜率不为0
因此,可设直线MN的方程为x=my+3代入椭圆方程可得(2m2+3)y2+12my+12=0
∵直线交椭圆C于M、N两点,∴△=48(m2-3)>0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则M′(x1,-y1),
∴y1+y2=-,y1y2=
设直线M'N与x轴的交点为Q(t,0)
∵kQM=kQN,∴=-
∴t=
∵x1=my1+3,x2=my2+3③
将①③代入②得t==3-2=1
∴直线M'N过x轴一定点Q(1,0).
分析:(1)设椭圆的半焦距为c,则 直线AB的方程为x=-c,将x=-c代入椭圆方程,求得|AB|=,|EF|=2c,根据△ABF是正三角形,可得,从而可求椭圆的离心率;
(2)确定椭圆的方程为,设直线MN的方程为x=my+3代入椭圆方程,利用韦达定理及kQM=kQN,即可求导直线M'N过x轴一定点.
点评:本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,解题的关键是确定几何量之间的关系,利用直线与椭圆联立,结合韦达定理求解.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•九江一模)设点E、F分别是椭圆C:
x2
a2
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点,△ABF是正三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设椭圆C的焦距为2,过点P(3,0)且不与坐标轴重合的直线交椭圆C于M、N两点,点M关于x轴的对称点为M',求证:直线M'N过x轴一定点,并求此定点坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•九江一模)设点E、F分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点,△ABF是正三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过定点D(-
3
,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q,且满足
DP
=2
QD
,O是坐标原点.当△OPQ的面积最大时,求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设点E、F分别是椭圆C:数学公式=1(a>b>0)的左、右焦点,过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点,△ABF是正三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过定点D(-数学公式,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q,且满足数学公式,O是坐标原点.当△OPQ的面积最大时,求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源:2012年江西省九江市高考数学一模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

设点E、F分别是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点,△ABF是正三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设椭圆C的焦距为2,过点P(3,0)且不与坐标轴重合的直线交椭圆C于M、N两点,点M关于x轴的对称点为M',求证:直线M'N过x轴一定点,并求此定点坐标.

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