Question

（2011•乐山一模）设函数f(x)=

x3

3

-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是

1

2

，求a、b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导函数，利用函数f（x）在x=3处取得极小值是

1

2

，可得f′（3）=0，f(3)=

1

2

，从而可求a、b的值；
（II）先求导函数，f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2），比较2a与2的大小，从而进行分类讨论，进而可确定函数的单调递增区间
（Ⅲ）函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，等价于f′（x）在（-1，1）上有且只有一个解；由（II）及零点存在定理可得

a＜1 f′(-1)•f′(1)＜0

，从而可确定a的取值范围．

解答：解：（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a（3分）
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0得 a=

3

2

（4分）
∵f(3)=

1

2

解得：b=-4（5分）
（II）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）
当a＞1时，2a＞2，∴f′（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分）
当a=1时，f′（x）=（x-2）²≥0，即f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．（9分）
当a＜1时，2a＜2，∴f′（x）＞0时，x＜2a或x＞2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2a）和（2，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由题意可得：

a＜1 f′(-1)•f′(1)＜0

（12分）
∴（2a-1）（2a+1）＜0
∴-

1

2

＜a＜

1

2

∴a的取值范围(-

1

2

，

1

2

)（14分）

点评：本题以函数为载体，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数确定函数的单调区间，理解函数极值的定义是解题的关键