Question

奇函数f（x）在R上为减函数，若对任意的实数x，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，则实数k的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题设知kx＜x²-x+2，故x²-（1+k）x+2＞0，由y=x²-（1+k）x+2开口向上，知要使x²-（1+k）x+2＞0，只需△=[-（1+k）]²-8＜0，即k²+2k-7＜0，由此能求出实数k的取值范围．
解答：解：∵奇函数f（x）在R上为减函数，
若对任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，
∴f（kx）＞-f（-x²+x-2）
∴f（kx）＞f（x²-x+2）
∴kx＜x²-x+2
∴x²-（1+k）x+2＞0，
∵y=x²-（1+k）x+2开口向上，
∴要使x²-（1+k）x+2＞0恒成立，
只需△=[-（1+k）]²-8＜0，
整理，得k²+2k-7＜0，
解得-2-1＜k＜2-1．
∴实数k的取值范围是（）．
故答案为：（）．
点评：本题考查函数恒成立问题的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．