【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与直线
垂直(其中
为自然对数的底数).
(Ⅰ)求的解析式及单调递减区间;
(Ⅱ)若函数无零点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)单调减区间为和
;(Ⅱ)
的取值范围为:
或
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)利用切线求出参数值为2,解不等式
可得减区间;
(Ⅱ)函数无零点,即方程
在
内无解,亦即要
在
内无解.为此构造函数
,利用导数研究
的单调性,可得结论,注意对
分类讨论
试题解析:
(Ⅰ)解:,
又由题意有:,故
.
此时,,由
或
,
所以函数的单调减区间为
和
.
(Ⅱ)解:
,且定义域为
,
要函数无零点,即要
在
内无解,
亦即要在
内无解.
构造函数.
①当时,
在
内恒成立,所以函数
在
内单调递减,
在
内也单调递减.又
,所以在
内无零点,
在内也无零点,故满足条件;
②当时,
⑴若,则函数
在
内单调递减,在
内也单调递减,在
内单调递增.又
,所以在
内无零点;易知
,而
,故在
内有一个零点,所以不满足条件;
⑵若,则函数
在
内单调递减,在
内单调递增.又
,所以
时,
恒成立,故无零点,满足条件;
⑶若,则函数
在
内单调递减,在
内单调递增,在
内也单调递增.又
,所以在
及
内均无零点.
又易知,而
,又易证当
时,
,所以函数
在
内有一零点,故不满足条件.
综上可得:的取值范围为:
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从参加高二某次月考的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组后得到如右所示的部分频率分布直方图。观察图形信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求分数在内的频率;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段的学生中抽取一个容量为6的样本,再从该样本中任取2人,求至多有1人在分数段
内的概率。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查,随机抽取100名市民,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图:
(Ⅰ)求频率分布表中,
的值,并补全频率分布直方图;
(Ⅱ)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查,现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在内的人数
,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,直线PQ与⊙O切于点A,AB是⊙O的弦,∠PAB的平分线AC交⊙O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于Q点.
(1)求证:QC·AC=QC2-QA2;
(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且两坐标系有相同的长度单位.已知点
的极坐标为
,
是曲线
:
上任意一点,点
满足
,设点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若过点的直线
的参数方程
(
为参数),且直线
与曲线
交于
,
两点,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线(
为参数),曲线
(
为参数).
(1)设与
相交于
两点,求
;
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从高二年级学生中随机抽取60名学生,将其期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段: ,
,
,…
后得到如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数(精确到0.1)、众数、平均数;
(2)用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本,求各分数段抽取的人数.
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