Question

椭圆与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

（1）证明：
消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
△=4a⁴-4（a²+b²）a²（1-b²）＞0，a²+b²＞1
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则，
由，x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0
化简得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
则
即a²+b²=2a²b²，故
（Ⅱ）解：由
化简得
由得，
即
故椭圆的长轴长的取值范围是．
分析：（Ⅰ）联立方程组，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由△＞0推出a²+b²＞1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能够推导出．
（Ⅱ）由由、题高级条件能够推导出，再由得，由此能够推陈出新导出长轴长的取值范围．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，具有一定的难度，解题时要细心解答，避免出现不必要的错误．