Question

设函数f(x)=3sin(2x-

π

3

)的图象为C，给出下列命题：
①图象C关于直线x=

11

12

π对称；
②函数f（x）在区间(-

π

12

，

5π

12

)内是增函数；
③函数f（x）是奇函数；
④图象C关于点(

π

3

，0)对称．
⑤|f（x）|的周期为π
其中，正确命题的编号是

①②

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析：①∵sin(2×

11π

12

-

π

3

)=sin

3π

2

=-1，∴f（x）在x=

11

12

π处取得最小值，可判断出其图象关于此直线对称；
②由x∈(-

π

12

，

5π

12

)，则-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，从而sin(2x-

π

3

)在区间(-

π

12

，

5π

12

)上单调递增，进而可判断f（x）的单调性；
③判断f（-x）=-f（x）是否成立即可；
④判断f(

π

3

)=0是否成立即可；
⑤判断|f(x+

π

2

)|=|f（x）|，|f（x+π）|=|f（x）|是否成立即可．

解答：解：①∵sin(2×

11π

12

-

π

3

)=sin

3π

2

=-1，∴图象C关于直线x=

11

12

π对称，正确；
②若x∈(-

π

12

，

5π

12

)，则-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，∴sin(2x-

π

3

)在区间(-

π

12

，

5π

12

)上单调递增，从而函数f（x）在区间(-

π

12

，

5π

12

)内是增函数，故正确；
③f（-x）=3sin(-2x-

π

3

)=-3sin(2x+

π

3

)≠-3sin(2x-

π

3

)，∴函数f（x）不是奇函数，不正确；
④f(

π

3

)=3sin(2×

π

3

-

π

3

)=3sin

π

3

=3×

3

2

≠0，故图象C关于点(

π

3

，0)不对称，不正确；
⑤∵|f(x+

π

2

)|=|3sin[2(x+

π

2

)-

π

3

]|=|-3sin(2x-

π

3

)|=|3sin(2x-

π

3

)|=|f（x）|，而|f(x+

π

4

)|≠|f(x)|，因此|f（x）|的周期为

π

2

，故不正确．
综上可知：只有①②正确．
故答案为①②．

点评：熟练掌握三角函数的图象和性质是解题的关键．